ARKHİMEDES (İÖ 287-212)
Eski Yunanlı matematikçi ve bilim adamı. İntegral ve diferansiyel hesabın öncüsü, statik ve hidrostatiğin temel kuramlarının yaratıcısıdır.
Arkhimedes, İÖ 287’de Sicilya adasındaki Syrakusai kentinde doğdu. Yaşamıyla ilgili kısıtlı bilginin önemli bir bölümü, yapıtlarının başlangıcındaki giriş yazılarından ve Plutarkhos, Pappos gibi Eski Çağ yazarlarının notlarından kaynaklanmaktadır. Babası Pheidras astronomdu. Bazı kaynaklar Syrakusai kralı II. Hieron ile akraba olduğunu yazar. Arkhimedes, o dönemin en önemli bilim merkezi olan İskenderiye’ de Eukleides’in. kurduğu okulda öğrenim gördü. Sonra Syrakusai’ye dönerek kendini tümüyle matematik çalışmalarına verdi. İskenderiye’deyken Ko-non ve Eratosthenes ile tanışmıştı. Çağdaşları arasında düşüncelerini paylaşabileceğine inandığı bu iki matematikçiyle ömür boyu yazışarak çalışmalarını aktardı. II. Hieron’un ölümünden sonra başa geçen Hieronymus, Romalıların Kartaca Savaşları sırasında güç duruma düşmeleri üzerine, Romalılar ile aralarındaki anlaşmayı çiğneyerek kazanan taraftan yana çıkmıştı. Bir süre sonra yeniden toparlanan Romalılar, Syrakusai’ye Marcellus komutasında bir donanma gönderdiler. Arkhimedes’in buluşlarının kentin savunmasında kullanılmasıyla üç yıl uzayan savaş, İÖ 212’de Romalılar’ın Syrakusai’yi işgal etmeleriyle sonuçlandı. Arkhimedes’in bu savaşta içbükey aynalar kullanarak güneş ışınlarını Roma donanmasının üzerine odakladığı ve gemileri yaktığı söylenirse de, olayın gerçekliği kuşkuludur. Buna karşılık, büyük taşları çok uzağa fırlatan ve Roma ordusuna büyük kayıplar verdiren mancınıklar yaptığı kesin olarak biliniyor. Bir söylentiye göre, işgal sırasında kuma çizdiği geometrik şekillerle bir matematik problemine dalmış olan Arkhimedes, kendisini götürmek isteyen Romalı bir askere “Çemberlerimi bozma” deyince asker, kim olduğunu bilmediği 75 yaşındaki bilgini öldürür. Ünlü bilginin öldürülmemesini emretmiş olan Mar-cellus bu olayı duyunca çok üzülür, askeri cezalandırır ve Arkhimedes’e görkemli bir cenaze töreni düzenler. Mezarının başına, Arkhimedes’in vasiyeti üzerine, silindir içine yerleştirilmiş bir küre konmuştur. İÖ 75’te Cicero tarafından ortaya çıkartılan bu mezar taşı Arkhimedes’in en büyük başarısı saydığı buluşunu simgelemektedir. Arkhimedes, bir küreyi çevreleyen silindir ile kürenin hacimleri arasındaki oranın 3/2 olduğunu bulmuştu.
Arkhimedes Yasası
Arkhimedes, Eski Çağ’ın hakkında en fazla öykü anlatılmış bilginidir. Bunlardan biri de Hieron’un altın tacı öyküsüdür. Yeni bir altın taç yaptıran Hieron, kuyumcunun taca gümüş kattığından kuşkulanır. Arkhimedes’i çağırarak tacı bozmadan içinde gümüş olup olmadığını saptamasını ister. Günlerce bu konuyu düşünen ve bir çözüm bulamayan Arkhimedes, bir gün banyodayken içine girdiği suyun taştığını ve taşan suyun hacmi ile vücudunun suya giren bölümü arasında bir bağlantı olduğunu farkeder. Bu buluşun sevinciyle “Eureka, Eureka” (Buldum, buldum) diye bağırarak çırılçıplak sokağa fırlar. Bu buluştan yola çıkan Arkhimedes’in problemi hangi yöntemle çözdüğü kesin olarak bilinmemekle birlikte, önce, eşit ağırlıktaki altın ve gümüş külçelerinin taşırdığı su hacminden bu iki madenin özgül yoğunluğunu bulmuş olduğu düşünülebilir. Daha sonra taç ile aynı ağırlıkta bir altın külçe yaptıran Arkhimedes, tacı ve altın külçeyi ayrı ayrı suya atıp taşırdıkları su miktarını ölçerek bir sonuca varabileceğini düşünür. Eğer taç saf altındansa, taşırdığı su miktarı altın külçeyle aynı olacaktır. Eğer gümüş karıştırılmışsa, gümüşün özgül ağırlığı daha az olduğundan, tacın taşırdığı su miktarı daha fazla olacaktır. Bu olay, hidrostatiğin temel kuramlarından biri olan ve “Arkhimedes Yasası” diye anılan yasanın doğmasına neden olmuştur. Arkhimedes Yasası, kısaca, herhangi bir akışkana atılan bir cismin, taşırdığı akışkanın ağırlığı kadar kendi ağırlığından kaybettiğini belirtir.
Arkhimedes hakkında anlatılan bir başka öyküde de, “Bana bir destek noktası bulun dünyayı yerinden oynatayım” dediği söylenir. Arkhimedes destek noktasından uzaktaki küçük bir ağırlığın, destek noktasına yakın konmuş büyük bir ağırlıkla dengelenebileceğini bulmuş, ağırlıklarla kuvvet kollarının ters orantılı olduğunu matematiksel olarak göstermişti. Öykünün devamında, bu sözü sınamak isteyen Hieron’un Arkhimedes’ten kendine bir gösteri yapmasını istediği, bunun üzerine Arkhimedes’in bir palanga-makara sistemiyle limanda duran bir gemiyi kolayca havaya kaldırdığı anlatılır. Arkhimedes’in bu sistemde dişlileri çevirmek için kullandığı sanılan ve Arkhimedes vidası olarak bilinen sonsuz vidanın, Nil Vadisi’nde sulama ve akaçlama işlerinde de kullanılmış olduğu sanılıyor.
Arkhimedes mekanikle ilgili buluşlarına pek değer vermemiştir; Platon gibi o da bilimle uğraşanların kuramsal bulgulan uygulama alanına aktarmalarını uygun bulmuyordu. Bu nedenle buluşlarını yazmaya bile gerek görmemiştir. Gökcisimlerinin hareketlerini canlandırmak üzere yaptığı planetaryum, uygulamalı çalışmalarından bugüne ulaşabilmiş tek örnektir. Arkhimedes’e göre temel konularda yapılan çalışmalar daha değerlidir. Matematik, statik ve hidrostatik konusundaki kitapçıkları 11. yy’da Arapça’ya, 13. yy’da Latince’ye, 16. ve 17. yy’dan başlayarak da çağdaş dillere çevrilmiştir. Arkhimedes’in matematik buluşlarının yöntemlerini ortaya koyduğu bir yapıtı, 1906’da Heiberg tarafından İstanbul’da bulunmuştur. Eratosthenes’e adanan kitabın adı Mekanik Teoremler Üzerine Yontem’An. Burada Arkhimedes, birçok önemli buluşunu mekanik incelemeyle, yani alanını ya da hacmini bilmediği bir geometrik cismin bu özelliklerini, bildiği bir başka cisimle karşılaştırarak nasıl elde ettiğini anlatır. Arkhimedes’in matematikte asıl yapmak istediği eğrisel düzlem şekillerin alanlarını ve eğri yüzeylerle sınırlanmış hacimleri hesaplamaktı. .Dairenin Ölçülmesi adlı kitabında 96 kenarlı eşkenar bir çokgenin çevresini bir çemberle çevirerek, dairenin çevresinin, çapının 3 1/7 ile 3 10/71 arasında bir sayıyla çarpımına eşit olduğunu göstermiştir.
Küre ile silindirin alan ve hacimlerinin oranı
Küre ve Silindir Üzerine adlı yapıtı iki ayrı kitaptan oluşur. Birinci kitapta silindir ve kürenin alan ve hacimlerinin birbirine oranını hesaplar. Kitap, tanımlar ve varsayımlarla başlar. Arkhimedes’e göre eğri yüzeylerle sınırlanmış cisimlerin alanlarını ve hacimlerini bulmak olanaksızdır. Bu bilgiler ancak, (düzgün şekilli hesaplanabilir cisimlerle karşılaştırarak bulunur. Eudoksos-’un teoremleri, bir piramidin hacmini taban alanı ve yüksekliği aynı olan bir prizmanın hacminin üçte biri, bir koninin hacmini ise taban alanı ve yüksekliği aynı olan bir silindirin hacminin üçte biri olarak belirlemişti. Arkhimedes önce bir kürenin alanının, küre içindeki en büyük dairenin dört katma eşit olduğunu buldu. Küre içindeki en büyük daireyi taban olarak alan ve yüksekliği bu dairenin çapma eşit olan bir silindirin yüzey alanı, küreninkinin 3/2’sidir. Aynı şekilde silindirin hacmi de kürenin hacminin 3/2’sidir. Bugünkü formüllerle yazıldığında, yüksekliği 2r olan bir silindirin yüzey alanı 6n r2’dir; kürenin yüzey alanı ise 4n r2 olduğuna göre 6n r2 /4n r2 = 3/2 bulunur. Aynı yöntemle, silindirin hacmi 2n r3, küreninki 4n r3/3 olduğuna göre 2n r3/(4n r3/3) = 3/2 olur. Aynı yapıtın ikinci kitabında ise Arkhimedes, verilen bir kürenin alanı ve hacmi ile çeşitli küre parçalarının alan ve hacimleri arasındaki oranları bulmuştur. Konik ve Küresel Cisimler Üstüne adlı kitabında, elips, parabol ve hiperbolün eksenleri çevresinde dönmesiyle oluşan cisimlerin ve bunların çeşitli düzlemler tarafından kesilmesiyle meydana gelen parçaların hacimlerini bulmuştur. Bir parabolün içine yerleştirilen eşit taban ve yükseklikteki bir üçgenin alanının, parabol alanının 3/4’üne eşit olduğunu da Parabolün Dördüllenmesi adlı kitabında gösterilmiştir. Spiraller Üstüne adlı kitabında Arkhimedes spirali şöyle tanımlar: bir doğrunun aynı düzlemde kalarak bir ucu etrafında düzgün bir hızla döndüğü ve sabit ucundan başlayan bir noktanın düzgün bir hızla doğru üzerinde hareket ettiği düşünülürse, noktanın hareketi bir spiraldir. Bu kitabında, bugün Arkhimedes spirali olarak bilinen eğriye teğet çizme problemi ile eğrinin herhangi bir parçasının yayının doğrultulması ve alanının dördüllenmesi gibi konuları ele almıştır. Kum Hesabı adlı kısa yapıtında, tüm evreni dolduracak kadar çok kum tanesinin sayısını hesaplar. Arkhimedes’in yaşadığı dönemde büyük sayıları ifade etmek için pratik bir yöntem yoktu. Sayılar alfabenin harfleriyle tanımladığından, büyük sayıları yazmak ve hesaplarda kullanmak hemen hemen olanaksızdı. Arkhimedes bu yapıtında, büyük sayıları da yazabilmek için, yeni ve çağdaş sisteme yakın bir yöntem geliştirerek, o zamanki kanıya göre sayılamayacak kadar çok olduğu ileri sürülen kumların bile sayılarla ifade edilebileceğini gösterdi.
Yüzeylerin ve cisimlerin ağırlık merkezleri
Arkhimedes mekanik bilimindeki savlarını kanıtlamak için geometrideki tezlerinden yararlanmıştır. Bu nedenle Eski Çağ’ın en büyük matematiksel fizikçisi olarak anılır. “Yüzeylerin Dengesi veya Ağırlık Merkezleri” adlı mekanik incelemesinde, çeşitli cisimlerin ve cisim kümelerinin ağırlık merkezlerini bulmuştur. Bu konudaki postulatlarından bazıları şöyledir:
-Eşit uzaklıktaki eşit ağırlıklar dengededir. Eşit olmayan uzaklıklarda ise, ağırlıklar eşit olduğu zaman, denge daha uzaktaki ağırlık yönünde bozulur.
-Eşit uzaklıktaki ağırlıklar söz konusu olduğunda, denge, ağırlığı fazla olanın yönünde bozulur.
-Eşit olmayan benzer şekillerde, ağırlık merkezleri benzer konumdadır.
-Çevresi aynı yönde içbükey olan herhangi bir şeklin ağırlık merkezi şeklin içinde kalmak zorundadır.
Aynı yapıtın ikinci kitabında parabolik kesitlerin ağırlık merkezleriyle ilgili bilgiler vardır. Bu konudaki temel önermelerden biri, “bir doğru ile kesilen bir parabol parçasının ağırlık merkezi parçanın çapı üzerindedir” biçimindedir. Duran akışkanların basınçlarını inceleyen hidrostatik bilimi Arkhimedes tarafından kurulmuştur. Yüzen Cisimler Üzerine adlı yapıtının birinci kitabında ise hidrostatiğin temel ilkeleri belirlenir:
-Bir akışkanın içine atılan ve akışkandan daha hafif olan katı bir cisim, taşırdığı akışkanın ağırlığı kendi ağırlığına eşit oluncaya kadar batar.
-Bir akışkanın içine atılan ve akışkandan daha ağır olan bir katı cisim akışkanın dibine çöker; ancak akışkanın içindeki ağırlığı havadakinden daha azdır, bu fark taşırdığı akışkanın ağırlığına eşittir.
Arkhimedes, modern matematiğin ve analitik geometrinin temelini hazırlayan yapıtlarıyla, matematik tarihinde Gauss ve Newton ile birlikte anılır. Analitik geometrinin temeli Eski Yunanistan’da atılmış; Yunan geometrisi, Apollonios ve Arkhimedes zamanında en parlak dönemini yaşamıştır. O dönemin en önemli okulu da, Eukleides’in İskenderiye’de kurduğu okuldur. Arkhimedes de İskenderiye’deki öğrenimi sırasında Eukleides’in yöntemini tanımıştır.
Bu yöntem, büyüklüklerin aksiyomlar üzerine kurulmuş teorik bir bütünlüğünü içerir. Temel aksiyomlardan biri, aynı büyüklüğe eşit iki büyüklüğün birbirine eşitliğidir. Ayrıca geometrinin gelişmesinde postulatların da büyük katkısı olmuştur. Arkhimedes bütün çalışmalarını aksiyomlar ve postulatlar üzerine kurmuştur. Onun geometriye katkısı, özgün buluşlardan çok, zor ve değişik problemlere el atmış olmasıdır. Daha çok alan ve hacim hesaplarıyla ilgilenmiş, problem konularının önemli bir bölümünü kendinden önceki büyük matematikçilerin yapıtlarından seçmiştir; Knidos’luEudoksos’un piramit hesabından esinlenerek, küre ile silindirin alan ve hacim oranlarını bulması gibi. Arkhimedes, bütün çalışmalarında doğru uygulama yolu ile tam bir kesinlik aramıştır. Bugün bir lise öğrencisinin kolaylıkla anlayabileceği ve ispatlayabileceği kuramlarıyla basit fakat temel kuramlar ortaya koymuştur. Düzensiz şekillerle ilgili geometri problemlerinde hesaplamaları, bilinen düzenli şekillerle gerçekleştirmiş, aradaki farkı giderek ufak düzenli şekillerle ifade etmiştir. Bu “farkı tüketme” yöntemi ve kendi adıyla anılan spiraller üzerinde yaptığı araştırmalar, integral hesabına bir hazırlık niteliğindedir ve bu alanda Arkhimedes, Newton ve Leibniz’in öncüsü sayılır.
Mekanik ve hidrostatik alanındaki katkıları ise, getirdiği matematik önermeleri ve tanımlarla tümüyle yeni ve özgündür. Matematiksel fizik alanında ilk inceleme Arkhimedes tarafından yazılmış, statiğin temeli de yine onun tarafından atılmıştır. Buna karşılık dinamiğin temel kuramları ancak 17. yy’da Galilei tarafından ortaya konulacaktır.
• KAYNAKLAR: C.B. Boyer, The History of the Calculus and its Conceptual Development, 1949; E.J. Dijksterhuis, Archimedes, 1956; A.G. Drachmann, “Archimedes and the Science of Physics”, Centaurus, (12), 1968; J. Gow, A Short History of Greek Mathematics, 1923; T.L. Heath, A Manual of Greek Mathematics, 1931.
Türk ve Dünya Ünlüleri Ansiklopedisi