Dairenin Ölçülmesi
Arkhimedes’in Dairenin Ölçülmesi adlı yapıtı üç önermeden oluşur. I. önerme, dairenin ve belli özellikleri olan bir dik üçgenin alanlarının eşitliğiyle ilgilidir: “Her daire, dik açıyı oluşturan kenarlardan biri yarıçapına, diğeri ise çember uzunluğuna eşit olan bir dik üçgene eşittir”. Arkhimedes’in ispatı, kullanılan semboller dışında aynen şöyledir:
“ABCD dairesinin E üçgenine ilişkisi hipotezdeki gibi olsun. Ben, daire üçgene eşittir derim. Çünkü, eğer mümkünse daire daha büyük olsun, AC karesi dairenin içine oturtulsun ve çemberi kestiği noktaların arası ikiye bölünsün (Z noktasında olduğu gibi). Son olarak da, daire parçalan, dairenin üçgenden fazlalığından az olsun. Bu durumda, düz kenarlı şekil üçgenden daha büyüktür. Merkez N, dikme NX alınsın. O halde NX, üçgenin kenarından daha kısadır ve düz kenarlı şeklin çevre uzunluğu, üçgenin diğer kenanndan daha kısadır, çünkü dairenin çember uzunluğundan daha kısadır. Dolayısıyla düz kenarlı şekil üçgenden daha küçüktür. Bu da saçmadır. Fakat, daire eğer mümkünse E üçgeninden daha küçük olsun. Kare dairenin içine oturtulsun ve çemberi kestiği noktalann arası ikiye bölünsün ve bütün kesim noktalann-dan teğetler çizilsin. Bu halde O AR açısı birdik açıdır. Dolayısıyla OR>MR olur. Çünkü MR=RA ve ROP üçgeni >1/2 OZAM’dır. PZA parçalarının tümü E üçgeninin daireden fazlalığından daha az olsun. O halde düz kenarlı şekil, üçgenden daha küçüktür. Fakat bu da imkânsızdır, çünkü NA bir kenanna eşit ve düz kenarlı şeklin çevresi diğer kenanndan daha uzun olduğundan, düz kenarlı şekil E üçgeninden daha büyüktür. Dolayısıyla daire üçgene eşittir.
dairenin-olculmesi.png 69 225″ align=”left” />
(Kaynak: J.Gow, A Short History of Greek Mathematics, 1923.)