GÖDEL, Kurt (1906 – 14 Ocak 1978)
Avusturya asıllı ABD’li matematikçi. Geliştirdiği “Eksiklik Teoremi” ile matematiğe yeni bir yön vermiş ve yeni teknikler kazandırmıştır.
28 Nisan 1906’da Brünn’de (bugün Slovakya’da Brno) doğdu. Öğrenimini Viyana Üniversite-si’nde yaptı. 1930’da matematik alanında doktora aldıktan sonra aynı üniversiteye öğretim üyesi oldu. Ertesi yıl yayımladığı bir makale ile büyük ün kazandı. 1933’te Princeton Üniversitesi’nde de görev aldı. 1938’de bu üniversiteye öğretim üyesi, 1953’te de profesör olarak atandı. 1940’ta ABD’ye yerleşerek 1948’de bu ülkenin uyruğuna geçti.
Gödel’in 25 yaşındayken yayımladığı makalesindeki “Eksiklik Teoremi” adıyla bilinen kanıtı, yaklaşık bir yüzyıldır matematikçilerin matematik dizgesini sağlam belitler (aksiyomlar) üzerine kurma çabalarına, bu amacın olanaksızlığını kamtlayarak son vermiştir. 19.yy’da Lobaçevski ve Bolyai’nin çalışmalarıyla, o güne değin nesnel anlamda doğru olduğu varsayılan Eukleides’in belitlerini temel almayan geometri dizgeleri geliştirilmişti. Böylelikle, matematiğin temelleri üzerine eleştirel bir çalışma dönemi başlamıştı. Bunun bir parçası olarak matematik dizgesi belitselleştirilmeye çalışılmıştı. Bu çalışma Frege’ nin katkılarıyla bir formelleştirme çabasına dönüştü. Formelleştirme, bir dizge içindeki önerme, terim, yüklem, niceleme ve mantıksal ilişkilerin formüller ve imlerle verilmesidir. Bu formüller dizgede, herhangi bir şeye karşılık oldukları için ya da anlamları dolayısıyla yer almaz. Formüller dizgenin başka formüllerinden, kabul edilmiş kimi kurallara göre çıkarsanır. Başka formüllerden çıkarsanamayan ve doğruluğu varsayılan temel önermeler ise belitlerdir. Matematiği bu anlamda yeniden kurma çalışmalarını ilerletenler arasında Hilbert, Russell ve Whitehead’ın çalışmaları büyük önem taşır.
Eukleides geometrisine almaşık dizgeler olabileceğinin gösterilmesiyle çelişkisizlik de matematiğin temelleri ile ilgili olarak bir sorun durumuna gelmişti. Eğer bir dizgenin belitleri zorunlu anlamda doğru değilse, birbirinin değillemesi olan önermeleri belit yapmanın önünde bir engel kalmadığı ve dizgenin böylece çelişik önermelere yol açmayacağının bir güvencesi bulunmadığı söylenebilir. Yine Frege ve Hilbert, aritmetik ve geometri dizgeleri için bir çelişkisizlik kanıtı geliştirmeye çalışmışlar, onların çabalarına Ackermann, von Neumann ve Herbrand gibi matematikçiler de katılmıştır.
Gödel’in yaklaşımı şöyledir: F gibi çelişkisiz bir formel dizge olsun. F’ye özgü ve bir aritmetik önermenin formelleştirilmesi olan, f gibi her önerme ile ilgili olarak, f veya ~f’nin F dizgesinin bir teoremi olması durumunda, f’nin temel aritmetiğin tümünü formelleştirdiği varsayılsın. Hilbert bunu bütün klasik aritmetik için sağlamaya çalışmıştır. Gödel ise, yalnızca temel aritmetiği formelleştirmeyi amaçlayan F gibi bir formel dizgenin bile bunu tümüyle sağlayamayacağını kanıtlamıştır. Bu kanıtı, ne/ne de ~f‘nin F içinde bir teorem olduğunun söylenemeyeceği durumda, bir aritmetik önermesini formelleştiren f gibi bir formel önerme kurarak sağlar. Bir başka deyişle,f’nin, F içinde belirlenmez olmasına karşın bir aritmetik önermesini formelleştirdiği bir durum elde eder. Gödel’in kanıtı, Epimenides’in “yalancı paradoksunu” andıran bir biçimde kendi üzerine dönük bir yapı taşır. Bunun belitsel dizgeler ile ilgili olarak içerdiği önemli sonuç şudur: Dizgeleştirmeye hangi belitlerle başlanılırsa başlanılsın, dizgede bu belitler temel alınarak kanıtlanması ya da yadsınması olanaksız önermeler bulunacaktır. Belitler bu önermeleri de kanıtlayacak (ya da yadsıyacak) biçimde değiştirildiğinde ise, bu kez dizgede kanıtı olanaksız başka önermeler ortaya çıkacaktır. Dolayısıyla, matematiği bir formel belitsel dizge olarak tamamlamaya olanak yoktur. Ne ölçüde geliştirilmiş ve ne ölçüde karmaşık olursa olsun her matematik dizgesi kendi içinde ve kendi kurallarıyla doğrulanamayan bir öğe taşıyacaktır.
Gödel, ikinci bir kanıtla bu sonuçları genelleştirmiştir. Bu ikinci sonsuz, F dizgesi içinde F‘nin çelişkisiz olduğunu dile getiren formülün, gerçekten çelişkisiz ise F içinde kanıtlanamayacağını saptar. Bir başka deyişle, bu sonuca göre, F çelişkisiz ise, bunun F içinde kanıtlanması olanaksızdır. Bunu yapmak için f’nin dışındaki yöntem ve araçlardan yararlanmak gerekmektedir. Dolayısıyla, Gödel’in matematiğe katkısı, bu alandaki formelleştirmenin tek dizgede gerçekleştirilemeyeceğini göstermek olmuştur. Matematiksel düşünce için bir devrim sayılan ve kesinliğe örnek yapdmış matematiğin kesinlik sınırlarını çizen bu çalışma, fizik alanındaki benzer sınırlamaları ortaya çıkaran Heisenberg’in belirsizlik ilkesinden beş yıl sonra yayımlanmıştır. Kanıt kuramı başta olmak üzere, pek çok matematik alanına yeni bir canlılık getiren bu çalışma felsefe ve mantık üzerinde de etki yapmıştır.
• YAPITLAR (başlıca): “Über formal unentscheidbare Sâtze der Principia Mathematica und verwandter Systeme, I” Monatshefte für Mathematik und Physık, 1931, (“Prin-cipia Mathematica ve ilgili Dizgelerin Formel Olarak Çözülmeyen Önermeleri Üzerine I”).
• KAYNAKLAR: A.Mostowskı, Sentences Undecidahle in Formalized Arithmetic, 1952; E.Nagel ve J.Newman, Gödel’s Proof, 1958.
Türk ve Dünya Ünlüleri Ansiklopedisi