FERMAT, Pierre de (1601-1665) Fransız matematik bilgini. Olasılıklar hesabının, sayılar kuramının ve sonsuzküçükler hesabının temellerini atmış, 17. yy’ın en büyük matematikçileri arasında yer almıştır.
17 Ağustos 1601’de, Toulouse yakınlarındaki Beaumont -de-Lomagne’da doğdu, 12 Ocak 1665’te Castres’da öldü. Gençlik ve öğrenim yıllarından geriye pek az bilgi kaldığı gibi, ileriki yaşlarında da, Paris’teki dostlarıyla sık sık yazışmış olmasına karşın, aldığı görevler ve matematik çalışmaları dışında özel yaşamına ilişkin hemen hiçbir bilgi derlenememiştir. Büyük bir olasılıkla Bask kökenli olan ailesi, babasının deri ticaretiyle sağladığı geçim düzeyi ve yüksek devlet memurları yetiştirmiş anne tarafı ailesinden gelen soyluluk unvanıyla toplumda saygın bir yer edinmişti. 17. yy Fransa’sına özgü soylu sınıf geleneğini sürdürerek, devlet ve toplum yönetiminde görev almak üzere yetiştirilen Fermat, Yunanca ve Latince dilleriyle edebiyatına, retorik ve matematiğe ağırlık veren sağlam bir klasik eğitimden sonra hukuk öğrenimine başladı. Gene pek kesin olmayan bilgilere göre, bir süre Toulouse ve Bordeaux üniversitelerine devam ettikten sonra, 1631’de Orleans Üniversitesi’nden hukuk diploması alıp Toulouse’a döndü, bir ay sonra da annesinin yeğenlerinden biriyle evlendi.
Aynı yıl, Toulouse parlamentosunun üyeleri arasına katılan Fermat, 1638’de soruşturma görevlisi, 1642’de yüksek konsül üyesi, 1648’de parlamento sözcüsü olmuş ve yaşamını hep aynı kentte yasa görevlisi olarak sürdürmüştür. Kimi belgeler bu görevlerinde pek başarılı olmadığım belirtirse de, sosyal konumunun da sağladığı ayrıcalıkla meslek yaşamında giderek üst görevlere yükselen Fermat, kendisini 17. yy’ın en büyük matematikçileri arasına katan matematik çalışmalarını hep “amatörce” bir uğraşı olarak görmüştür. Görevinden arta kalan zamanını matematik ve Latince yazın çalışmalarıyla değerlendiren, beş çocuğu ve karısıyla dingin, sağlıklı bir yaşam süren Fermat, görevli olarak gittiği Castres’ da 64 yaşındayken ölmesine karşın, Toulouse’daki mezarının taşında 57 yıl yaşadığı yazılıdır.
Fermat’mn yazışmalarından, bir yandan Fransız matematikçi Viete’nin simgesel cebir ve denklemler kuramından bir yandan da o dönemin bütün aydınları gibi, Antik Çağ’dan kalan yapıtlardan etkilendiği ve birçok konuda Pappos Diophantos ve Apollonios’un çalışmalarından yola çıktığı anlaşılmaktadır. Çalışmalarını yayımlamayı düşünmemesi, bu nedenle de buluşlarını kimi kez kanıtsız olarak, kimi kez de tamamlamadan dostlarına göndermesi ya da yalnızca kitap sayfalarının boşluklarına not etmekle yetinmesi yaşamı süresince ün kazanmasını engelledi. Çalışmaları ancak 19. yy’m ortalarında gerektiği gibi değerlendirilebilen Fermat günümüzde analitik geometri, sonsuzküçükler hesabı (calculus) ve olasılık kuramı gibi temel matematik dallarının kurucuları arasında anılmaktadır.
Analitik geometri
1629’da, Apollonios’un düzlemde geometrik yer problemleriyle ilgili bir yapıtı üstünde çalışırken, belirli ortak özellikler taşıyan noktaların bulunması anlamında olan geometrik yer problemlerinin çözümünde bir koordinat sistemi yardımıyla cebiri geometriye uygulayabileceğini gören Fermat, Descartes ile aynı zamanda ancak ondan bağımsız olarak analitik geometrinin temel düşüncelerini geliştirmeyi başardı. Ölümünden sonra 1679’da yayımlanan toplu yapıtlarında gün ışığına çıkan bu koordinat sistemi, Descartcs’ın 1637’de yayımladığı Geometrie’sinde açıkladığı dik kesişen iki eksenli sisteminden farklı olarak tek bir eksenden oluşuyordu. Bu eksen üzerinde seçilen değişmez bir başlangıç noktasından değişkenlerin birincisine verilen değer kadar uzaklıktaki noktadan eksenle belirli bir açı yapan ve ikinci değişkenin değerine eşit uzunlukta bir doğru parçası çiziliyordu. Bu doğru parçasının bitim noktası eğrinin noktalarından birisini veriyordu.
Fermat bu sistemin üç boyutlu bir genellemesine geometrik olarak ulaşamadı ancak 1650’de yazdığı bir makalede tek bilinmeyenli denklemlerin noktayı, iki bilinmeyenlilerin düzlem eğrisini, üç bilinmeyenlilerin ise üç boyutlu uzayda bir yüzeyi belirlediğini ileri sürerek, bilinmeyenlerin sayısının içerdiği geometrik anlama kavramsal düzeyde de olsa açıklık kazandırmayı başardı. Eğri ve denklemleri derecelerine göre de incelemeye girişen ve ikinci derece eğrileri sınıflandıran Fermat bu çalışmaları sırasında türev almakla aynı anlama gelebilen bir algoritma geliştirdi.
Sonsuz-kiiçükler hesabı
Fermat kendisine sonsuzküçükler hesabının kurucuları arasında bir yer kazandıran çalışmalarının ilki sayılabilecek olan bu algoritmayı Apollonios’un bir problemini çözerken buldu. Apollonios’un “verilen bir doğru parçasını, üzerine kurulacak belirli yükseklikteki dikdörtgenlerin alanlarının oranı en küçük olacak biçimde iki parçaya ayırma” problemini “sözü geçen parçaların çarpımının en büyük olabilmesi” problemine dönüştürerek ikinci dereceden bir denklem elde eden ve bu denklemin çözümlerinin eşit olması gerektiğini gören Fermat, Viete cebiri yardımıyla yürüttüğü algoritmasıyla değişkenin değerini katsayılar cinsinden hesaplayabildi.
Sürekli bir eğriye istenilen bir noktadan teğet çizebilmeyi başaran Fermat, eğrinin maksimum ve minimum noktalarındaki teğetlerinin yataylığını da buldu, daha açık bir deyişle sonraları Newton’un geliştireceği diferansiyel hesabın hemen hemen bütün temel kavramlarına ulaştı. Yine aynı yıllarda k bir değişmezi, m ve n birer pozitif tamsayıyı göstermek koşuluyla ym= kxn biçiminde yazılabilen eğrilerin altında kalan alanları ve benzer eğrilerin bir eksen çevresinde dönmesiyle elde edilen hacimleri hesaplamakta integralle aynı anlamda olan toplama yöntemleri kullandı. Diferansiyel ve integral hesabın öncüsü olan bu bulgularından bazı geometrik biçimlerin ağırlık merkezlerini ve eğrilerin uzunluklarını hesaplamakta yararlandı.
Sayılar kuramı
Fermat’nın matematiğe katkıları arasında en önemlileri sayılar kuramına ilişkin olanlarıdır. Fer-mat’nın çalışmaları tam sayıların özelliklerini araştıran bağımsız bir matematik dalının kurulmasına, dahası cebirsel sayılar ve idealler kuramlarının doğuşuna öncülük etmiş, pek çok yeni kavram ve yöntemin geliştirilmesini sağlamıştır.
Fermat verilen bir n pozitif tam sayısının bölenlerinin toplamı olan α (n) büyüklüğünü inceledi ve α (n) = 2n, α (n)= 3n ve daha genel olarak α (a)= α‘b)=a+b türündeki denklemleri sağlayan tamsayıları araştırdı, α (x3)= y2 ve a (x2)= y3 denklemlerinin çözümlerinin bulunması problemini ve bugün Fermat teoremi olarak bilinen αp–α sayısının p asal sayısına bölündüğünü ileri süren yasayı kanıtsız olarak ortaya attı. 4n +1 biçiminde yazılabilen her asal sayının iki tam sayının karelerinin toplamı olarak yazılabileceğini kanıtladı. Fermat sayıları olarak anılan ve sonraları Gauss tarafından çok ilginç özellikler taşıdıkları gösterilen 22n +1 biçimindeki sayıların asal olduklarını ileri sürdü. Ancak yine kanıtsız olarak ileri sürdüğü bu savın n=5 için yanlış olduğu yaklaşık yüzyıl sonra Euler tarafından gösterilebildi.
Fermat’nın sayılar kuramına ilişkin savları arasında en önemli ve en ünlüsü “Fermat’nın son teoremi” olarak bilinen ve x,y,z ve n birer pozitif tam sayı olmak koşuluyla xn+yn — zn eşitliğinin n’in 2’den büyük değerleri için çözülemeyeceğini ileri süren teoremdir. Fermat bu teorem için “son derece güzel bir kanıt” bulduğunu yazmışsa da, bu teoremin bugün bile kanıtlanmamış olması Fermat’mn da sözünü ettiği kanıta sahip olmadığı inancım desteklemektedir.
Fermat, sayı kuramına ilişkin bazı kanıtlamalarda “sonsuz iniş” adı verilen matematiksel “tümevarım” ile “olmayana ergi”nin karışımı, bir yöntem kullandı. Bu yöntemde, bir pozitif tam sayılar kümesinin her öğesinin verilen bir P özelliğini taşıdığı kanıtlanmak isteniyorsa, P özelliğini taşımayan bir öğenin varlığı kabul edilir ve matematiksel usavurma yoluyla P özelliğini taşımayan daha küçük bir öğenin de varolduğu gösterilir. Böylece giderek küçülen pozitif tam sayılardan oluşan bir zincir elde edilir ve bu “iniş”in sonunda kümenin en küçük öğesine ulaşılır. Kümenin en küçük öğesinin P özelliğini taşıdığını göstermek ise genellikle kolaydır. Böylece ulaşılan çelişki P özelliğini taşımayan hiçbir sayının bulunmadığı, bir başka deyişle kümenin her öğesinin P özelliğini taşıdığı anlamına gelir.
Olasılık kuramı
1654’de Pascal’ın zar oyunlarına ilişkin bir problemi Fermat’ya iletmesiyle başlayan bir yazışma, bu iki matematikçinin olasılık kuramının kurucuları olarak anılmalarına yol açan bir içerik taşır. Bir çift zarın 24 kez atılmasından oluşan bir oyunda en az bir kez iki zarın birlikte altı gelmesi üzerine para yatırmanın kârlı olup olmadığı sorusunun çözümünü kapsayan bu yazışmada, istenen sonuçların sayısının olası olan bütün sonuçların sayısına oranından yararlanan Fermat ve Pascal olasılık hesaplarının bu temel ilkesini ilk kez kullanmış ve 1657’de Christiaan Huygens tarafından genelleştirilecek olan yöntemler geliştirmişlerdir.
Fermat’nın fiziksel bir problemle ilgilenmesinin belki de tek nedeni Descartes ile arasındaki uyuşmazlıktı. Descartes’m 1637’de yayımlanan La Dioptrique’ ini inceleyen ve hem ışığın yoğun ortamda daha hızlı yol aldığına ilişkin önermenin hem de Descartes’m yansıma ve kırılma yasasının yanlış olduğunu ileri süren Fermat, 1662’de bu yanlışlığı matematiksel olarak kanıtlamaya girişti. Descartes’ın varsayımının tersine ışığın hızının bulunduğu ortamın yoğunluğuyla ters orantılı olarak değiştiği ve “doğanın en basit ve en hızlı yolları ve araçları seçtiği” postülalarını temel alarak yürüttüğü kanıtının sonunda Descar-tes’ın kırılma yasasına ulaşmak Fermat için şaşırtıcı oldu.
Fermat, amacının aksine, Descartes’m kırılma yasasının “en kısa zaman ilkesine” uygunluğunu kanıtlayan bu çalışmasında kendi geliştirdiği maksimum-minumum yöntemlerinden de yararlandı. 1849’da Fizeau bu çalışmada postüla olarak alınan ışık hızının yoğun ortamlarda azaldığı önermesinin doğruluğunu deneysel olarak kanıtladı.
İlk kez ölümünden beş yıl sonra oğlu tarafından Vana opera (Toplu Yapıtlar) adıyla yayımlanan çalışmalarında geliştirdiği kavram ve yöntemlerle matematiğin en temel dallarına öncülük etmiş olan hukukçu Fermat’nm matematik tarihinin en başarılı amatörü olduğu konusunda hiçbir kuşku yoktur.
• YAPITLAR (başlıca) : Oeuvres de Fermat, (ö.s.), C. Henry ve P.Tannery (der.) , 4 cilt, 1891-1912.
Türk ve Dünya Ünlüleri Ansiklopedisi